Programme du cours (simplifié)

Voici le programme synthetisé. Le programme detaillé sera présent au fur et à mesure de l'avancement du cours. N'hésiter donc pas à venir consulter régulièrement cette page web.

Nous insisterons sur la notion de limite (pour des suites et des fonctions). Les principaux théorèmes que nous allons voir ensemble et que vous devrez apprendre à manipuler seront les théorèmes de Rolle (ainsi que ses dérivés), le théorème de Heine, de Bolzano-Weierstrass.

• Ensembles et relations. Éléments de logique.
• Récurrence, ensemble des entiers N.
• Propriétés du corps des réels R.
• Corps des nombres complexes C, calcul dans C.
• Suites réelles: limites, monotonie, comparaison de suites, valeur d'adhérence. Suites récurrentes
• Fonctions réelles: ensemble de définition périodicité, parité, symétries de graphe.
• Limites de fonctions. Continuité, théorème de Heine, théorème des valeurs intermédiaires.
• Dérivation: définition, exemples. Accroissements finis. Variation d'une fonction, tangente à un graphe.
• Fonctions convexes
• Formules de Taylor, développements limités, étude locale. Développements asymptotiques, branches infinies.
• Fonctions réciproques
• Intégration de Riemann. Sommes de Riemann, changement de variables, primitives, théorème de la moyenne

Programme du cours (détaillé)

• Cours 1 - vendredi 11 septembre 2009 - T'301
  • Elements pour comprendre un enonce - Definition d'une proposition - Negation, conjonction, disjonction - Table de verite - Implication et equivalence - Proposition avec des quantificateurs - Proprietes (ordre des quantificateurs, negation) - Quelques conseils pratiques de redaction quelques exemples
  • Lire et rediger une demonstration mathematique - raisonnement par l'absurde - raisonnement par recurrence
  
  
• Cours 2 - lundi 14 septembre 2009 - T'302
  • Lire et rediger une demonstration mathematique (suite et fin) - quantificateur existentiel et universel: negation, echange - signes sigma et produit: premieres proprietes - calcul de la somme de i,i^2,i^3 par divers methodes (recurrence, changement d'indice) - double somme.
  • Ensembles et sous-ensembles, applications - Definition, N, Z, Q, R, C. - Inclusion, intersection , reunion. Proprietes. - Complementaire, difference symetrique. Proprietes.
  
  
• Cours 3 - lundi 21 septembre 2009 - T'302
  
  Ensembles et sous-ensembles, applications (suite) - definition d'une application - graphe, diagrammes cartesien et sagittal - familles d'applications - prolongements, restrictions - compositions - image d'une application - injection et surjection.
  
  
• Cours 4 - jeudi 24 septembre 2009 - T'302
  
  • Chapitre applications (suite et fin) - bijection - image directe d'un ensemble - image reciproque - fonctions croissantes (thm strictement croissante -> bijective).
  • Chapitre fonctions usuelles Rappels sur les fonctions usuelles : fonctions circulaires, fonctions reciproques, derivee, formules trigonometriques.
  
  
• Cours 5 - lundi 28 septembre 2009 - T'301
  
  • Chapitre fonctions usuelles (suite et fin) Fonctions hyperboliques, sh, ch, th, fonctions reciproques, derivees.
  • Chapitre relations - definition d'une relation binaire - relation d'ordre - beaucoup d'exemples: sur R, inclusion sur les ensembles, divisibilite sur N - majorants et minorants.
  
  
• Cours 6 - jeudi 1 octobre 2009 - T'302
  
  • Chapitre relations (suite et fin) - plus grand/petit element - borne sup/inf, cas d'egalite max=sup et min=inf - relation d'ordre pour les fonctions: majoree, minoree, bornee
  • relation d'ordre usuelle sur N et R - sur N: toute partie non vide admet un plus petit element - sur N toute partie non vide majoree admet un plus grand element - redefinition de borne suf/inf sur R a l'aide des epsilon. - theoreme fondamental : toute partie de R non vide majoree admet une borne sup - construction de la fonction partie entiere - intervalles de R - R est Archimedien - Pour la culture: R non denombrable + demonstration (digonale de Cantor)
  
  
• Cours 7 - lundi 5 octobre 2009 - T'301
  
  Rappels sur les nombres complexes - proprietes (conjugue, forme algebrique, trigo) - racines de l'unite - formules d'Euler, Moivre - thm de d'Alembert - exemple sur des polynomes de degree 2 et 3 - linearisation - exponentielle complexe
  
  
• Cours 8 - jeudi 8 octobre 2009 - T'302 (2h)
  
  Limite d'une suite reelle - vocabulaire sur les suites (majoree, etc, croissante, etc) - definition de la limite avec les epsilon - unicite de la limite - exemple sur 1/n, (-1)^n - suites extraites - thm: suite convergente est bornee - suite de Cesaro, demonstration de la convergence avec les epsilon
  
  
• Cours 9 - jeudi 15 octobre 2009 - T'302 (2h)
  
  Limite d'une suite (suite) - limite des suites geometriques - limites et inegalites - passe a la limite - sommes, produits, inverse de suites et limites - theoremes existence : thm des gendarmes - suite croissante majoree CV - suite decroissante minoree CV - suite croissante non majoree tends vers infini. version decroissante - exemples (serie 1/n^2 CV)
  
  
• Cours 10 - lundi 19 octobre - T'302
  
  Limite d'une suite (suite) - suites adjacentes - construction de racine carre de 2 par les segments emboites - thm Bolzano-Weierstrass - Critere de Cauchy + demontration - Utilisation de Cauchy (serie harmonique) - suites recurrentes (fct croissante/decroissante)
  
  
• Cours 11 - jeudi 22 octobre - T'302 (2h)
  
  Limite d'une fonction (suite et fin) - definition - limite et bornitude - limite a gauche/droite - caracterisation en terme de limite gauche/droite - propriete sequentielle - operations sur les limites - passage a la limite et inegalites - theoreme d'existence de limite (thm gendarmes, fonctions monotones)

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  VACANCES

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• Cours 12 - lundi 2 novembre - T'302
  
  Continuite - definition: continuite en 1 point - exemples |x|, x^n - continuite a gauche et a droite, sur un intervalle - prolongement par continuite - exemple: partie entiere, sin(x)/x, x ln(x) - fonctions continues admises cos, sin, exp, ln - propriete sequentielle: f continue en a ssi pour toute suite u_n qui converge vers a, f(u_n) converge vers f(a). - Operations sur la continuite (sommes,...)
  
  
• Cours 13 - jeudi 5 novembre - T'302 (2h)
  
  Continuite - les grands theoremes (suite et fin) - Theoremes des valeurs intermediaires - Recherche des racines approchees d'un polynome par dichotomie - Image d'un intervalle par une fonction continue strict monotone - Image d'un segment par une fonction continue - Cor: fct continue sur un intervalle ferme est bornee et atteint ses bornes - Thm: si f continue alors f injective equivalent f strict monotone - Continuite uniforme et thm de Heine.
  
  
• Cours 14 - lundi 9 novembre - T'302
  
  Derivabilite - Definition du nombre derive en a - derivable implique continue - definition de la tangente - derivabilite a gauche/droite et demi-tangente a gauche/droite - thm: derivable equivalent derivable a gauche/droite et derivees egales - derivabilite sur un intervalle - operations sur la derivabilite (somme, produit, quotient, composee, fct reciproque)
  
  
• Cours 15 - jeudi 12 novembre - T'302 (2h)
  
  Derivabilite (suite) - Rappel sur les extrema locaux - thm: extrema en un point interieur implique derivee est nulle en ce point - reciproque fausse, exemple - application: thm de Rolle - Thm des accroissements finis - Inegalite des accroissements finis - applications sur les suites recurrente
  
  
• Cours 16 - lundi 16 novembre - T'302
  
  Derivabilite (suite et fin) - Application Inegalite accroissements finis - derivees successives, formule de Leibniz - exemples - regle de l'Hospital - notion d'assymptote a une courbe - plan d'etude d'une fonction
  
  
• Cours 17 - jeudi 19 novembre - T'302 (2h)
  
  Formules de Taylor, developpements limites - Definition d'un DL - Exemples DL ordre 0 et 1 - Relation continuite/derivabilite - Primitivation d'un DL - Formule de Taylor - DL classiques
  
  
• Cours 18 - lundi 23 novembre - T'302
  
  Developpements limites (suite) - Operations sur les DL: somme, produit - Composition des DL - exemples de calculs et de passage au quotient
  
  
• Cours 19 - lundi 30 novembre - T'302
  
  Developpements limites (suite) - Developpements asymptotiques - Branches infinies - exemples
  
  
• Cours 20 - jeudi 3 decembre - T'302
  
  Developpements limites (suite et fin)
  
  
• Cours 21 - lundi 7 decembre - T'302
  
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• Cours 22 - jeudi 10 decembre - T'302 (dernier cours)
  
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